Ми звикли до того, що у кожної поверхні - наприклад, у аркуша паперу, у футбольній або велосипедної камери - дві сторони. 
Мал. 1. Приклади двосторонніх поверхонь
Відеофрагмент 1. Вивертання м'яча і покришки
Ясно, що перейти з одного боку на іншу можна, тільки якщо якимось чином перейти через край або пройти крізь поверхню.
Мал. 2. Двовимірний істота не може перейти з одного боку поверхні на іншу
Якщо згорнути смужку паперу в кільце і склеїти кінці, то вона, як була двосторонньою, так і залишиться.
А ось якщо, перш ніж склеювати, перекрутити один з кінців, вийде «лист Мебіуса», інакше званий «стрічкою Мебіуса». Його властивості незалежно один від одного відкрили два німецьких математика - Август Фердинанд Мебіус і Йоганн Бенедикт Лістинг, описали його в 1862-65 роках.
Мал. 3. Кільце і стрічка Мебіуса
По-перше, якщо подорожуєш по листу Мебіуса, то, навіть якщо ніде не перетнеш край, все одно можна побувати з обох сторін смужки!
Мал. 4. Двовимірний істота може перейти з одного боку стрічки Мебіуса на іншу
Тому і говорять, що лист Мебіуса має не дві, а тільки одну сторону: це одностороння поверхню . Зрозуміло, якщо почати фарбувати одну зі сторін, то пофарбованим виявиться весь лист, навіть якщо ми і не перейдемо через його край.
Тому, власне і говорять, що у листа Мебіуса не дві, а тільки одна сторона - це одностороння поверхню.
Власне, розфарбувати, та ще тільки з одного боку, можна лише «матеріальну» поверхню, що лежить в тривимірному просторі і має деяку товщину. Математичні ж поверхні товщини не мають. Цікаво, могло б двовимірне істота, яка живе на поверхні без товщини і здатне на ній пересуватися, виявити, двостороння його поверхню або одностороння?
Виявляється, так! Якщо поверхня двостороння - наприклад, звичайне кільце, - то, після обходу по ній з істотою нічого не станеться. А ось якщо перед нами лист Мебіуса, то, виявляється, обійшовши коло, така істота перетвориться в дзеркально симетричне і буде відрізнятися від його побратимів, які залишилися вдома, так, як у нас права рука відрізняється від лівої.
Відеофрагмент 2. Обійшовши коло по стрічці Мебіуса, об'єкт перетвориться в своє дзеркальне відображення
У звичайного кільця не тільки дві сторони, але і два краю. А у аркуша Мебіуса не тільки одна сторона, а й один край!
Мал. 5. Краї кільця і стрічки Мебіуса
Ще одна чудова властивість листа Мебіуса можна побачити, якщо розрізати його посередині вздовж краю. Якщо такий розріз зробити зі звичайним кільцем, буде, зрозуміло, два кільця.
А ось з листа Мебіуса виходить зовсім не два листа. Експериментуйте з листком паперу.
Фігура, яка є, між іншим, двосторонньої!
Мал. 6. Кільце, що виходить з Стрічки Мебіуса при її подовжньому розрізі
А якщо розрізати лист Мебіуса уздовж краю вже не на дві, а на три частини, то що вийде? А на чотири? А на п'ять? Спробуйте самостійно досліджувати це питання за допомогою паперових моделей.
Є таке завдання. Є три будиночки і три криниці. Чи можна прокласти стежки від кожного будиночка до кожного колодязя (тобто всього 3 будиночки * 3 колодязя = 9 стежок) таким чином, щоб ці стежки не перетиналися? Спробуйте-но це зробити!
Мал. 7. Питання про будиночки і колодязі
Не виходить? Це дійсно неможливо. 8 стежок ще вдається прокласти, а дев'яту абсолютно ніде ... Але ось виявляється, що на аркуші Мебіуса завдання має рішення! Спробуйте його знайти!
Звичайне кільце - це двостороння поверхню з краєм (навіть з двома), але є і двосторонні поверхні без краю: наприклад, сфера або тор.
Мал. 8. Сфера і тор - поверхні без краю
Лист Мебіуса - це одностороння поверхню з краєм. А чи існують односторонні поверхні без краю (двосторонніми поверхнями без краю є, наприклад, сфера або тор)? Виявляється, в тривимірному просторі такі поверхні можуть існувати тільки якщо дозволяти їм перетинати самі себе. Така пляшка Клейна, названа на честь великого німецького математика серпня Клейна. Вона виходить, якщо хитрим чином з'єднати кінці труби, яка може перетнути сама себе.
Вважається, що, проходячи через лінію перетину, ми просто продовжуємо свій шлях, не відволікаючись на неї. Для наочності можна розглянути також поздовжній розріз пляшки Клейна.
Модель 1. Пляшка Клейна
Неважко бачити, що поперечний розріз пляшки Клейна нагадує лист Мебіуса, і дійсно, виявляється, її можна зробити, склеївши два листа Мебіуса краями (з самоперетинів). У тому, що пляшка Клейна - дійсно одностороння поверхню, можна переконатися і за допомогою двовимірних істот.
Односторонні поверхні фігурують у багатьох творах літератури і мистецтва, наприклад, на скульптурі Макса Білла. Лист Мебіуса зображений на ряді емблем, пов'язаних з математикою, в тому числі на значку механіко-математичного факультету МДУ.
Цікаво, могло б двовимірне істота, яка живе на поверхні без товщини і здатне на ній пересуватися, виявити, двостороння його поверхню або одностороння?А на чотири?
А на п'ять?
Чи можна прокласти стежки від кожного будиночка до кожного колодязя (тобто всього 3 будиночки * 3 колодязя = 9 стежок) таким чином, щоб ці стежки не перетиналися?
А чи існують односторонні поверхні без краю (двосторонніми поверхнями без краю є, наприклад, сфера або тор)?